在双曲线x2－y2＝1上求一点P，使P到直线y＝x的距离为.

　　[精讲详析]　本题考查双曲线的参数方程的应用，解答本题需要先求出双曲线的参数方程，设出P点的坐标，建立方程求解．

　　设P的坐标为(secφ，tan φ)，由P到直线x－y＝0的距离为得＝

　　得|－|＝2，|1－sin φ|＝2|cos φ|

　　平方得1－2sin φ＋sin 2φ＝4(1－sin 2φ)，

　　即5sin 2φ－2sin φ－3＝0.

　　解得sin φ＝1或sin φ＝－.

　　sin φ＝1时，cos φ＝0(舍去)．

　　sin φ＝－时，cos φ＝±.

　　∴P的坐标为(，－)或(－，)．

　　参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的，因而曲线的参数方程具有消元的作用，利用它可以简化某些问题的求解过程，特别是涉及到最值、定值等问题的计算时，用参数方程可将代数问题转化为三角问题，然后利用三角知识处理．

　　1．求证：等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶点．

　　证明：设双曲线为x2－y2＝a2，取顶点A(a，0)，

　　弦B′B∥Ox，B(asec α，atan α)，则B′(－asec α，atan α)．

　　∵kB′A＝，kBA＝，

　　∴kB′A·kBA＝－1.

∴以BB′为直径的圆过双曲线的顶点．