(2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由.

【解析】(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.

因为x＝±1是函数f(x)的极值点，

所以x＝±1是方程f′(x)＝0，即3ax2＋2bx＋c＝0的两根.

由根与系数的关系，得

又f(1)＝－1，所以a＋b＋c＝－1. ③

由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.

(2)由(1)得f(x)＝x3－x，

所以当f′(x)＝x2－＞0时，有x＜－1或x＞1；

当f′(x)＝x2－＜0时，有－1＜x＜1.

所以函数f(x)＝x3－x在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数.

所以当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.

【点拨】求函数的极值应先求导数.对于多项式函数f(x)来讲， f(x)在点x＝x0处取极值的必要条件是f′(x)＝0.但是， 当x0满足f′(x0)＝0时， f(x)在点x＝x0处却未必取得极值，只有在x0的两侧f(x)的导数异号时，x0才是f(x)的极值点.并且如果f′(x)在x0两侧满足"左正右负"，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f′(x)在x0两侧满足"左负右正"，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值.

【变式训练2】定义在R上的函数y＝f(x)，满足f(3－x)＝f(x)，(x－)f′(x)＜0，若x1＜x2，且x1＋x2＞3，则有(　　)

A. f(x1)＜f(x2) B. f(x1)＞f(x2)

C. f(x1)＝f(x2) D.不确定

【解析】由f(3－x)＝f(x)可得f[3－(x＋)]＝f(x＋)，即f(－x)＝f(x＋)，所以函数f(x)的图象关于x＝对称.又因为(x－)f′(x)＜0，所以当x＞时，函数f(x)单调递减，当x＜时，函数f(x)单调递增.当＝时，f(x1)＝f(x2)，因为x1＋x2＞3，所以＞，相当于x1，x2的中点向右偏离对称轴，所以f(x1)＞f(x2).故选B.

题型三　求函数的最值

【例3】 求函数f(x)＝ln(1＋x)－x2在区间[0,2]上的最大值和最小值.

【解析】f′(x)＝－x，令－x＝0，化简为x2＋x－2＝0，解得x1＝－2或x2＝1，其中x1＝－2舍去.