②取ξi＝，

　　则f(ξi)＝f＝2＋2·＝i2＋i，

　　于是f(ξi)·Δxi＝；

　　③Sn＝(ξi)·Δxi＝＝

　　＝

　　＝＋＝＋.

　　④当n→＋∞时，Sn＝＋→，即Sn＝，

　　所以(x2＋2x)dx＝Sn＝.

　　探究三 定积分几何意义的应用

　　1．定积分f(x)dx的几何意义是：介于x＝a，x＝b之间，x轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和，其中x轴上方部分面积为正，x轴下方部分的面积为负．

　　2．定积分几何意义的应用主要有两个方面：一是将求平面图形的面积问题转化为求相应的函数的定积分问题；二是将一些求特殊函数的定积分问题转化为求相应平面图形的面积问题．

　　3．求定积分值的时候，要注意结合函数图象的对称性求解．

　　【典型例题3】 用定积分的几何意义求下列定积分的值：

　　(1)xdx；

　　(2)dx；

　　(3)sin xdx；

　　(4)cos xdx.

　　思路分析：画出相应被积函数的图象，再根据定积分的几何意义求解．

　　解：(1)定积分xdx的值就是由直线y＝x，x＝1，x＝2，y＝0所围成图形的面积，这里恰好是一个直角梯形，其面积为S＝(1＋2)×1＝，于是xdx＝.

　　(2)被积函数y＝表示的曲线是圆心在原点，半径为2的上半圆，由定积分的几何意义知定积分计算的是半圆的面积，所以有dx＝＝2π.

(3)函数y＝sin x在区间[－π，π]上是一个奇函数，图象关于原点成中心对称(如图)，由在x轴上方和下方面积相等的两部分构成，故该区间上定积分的值为面积的代数和，等于0