所以·=(a+b+c)·(a-c)=a2-c2+a·b-b·c=1-1+-=0.
所以⊥.同理可得⊥.
所以AC1⊥平面A1BD.
【点拨】利用|a|2=a2是计算长度的有效方法之一;而利用向量数量积为零是证明垂直问题的常用方法之一.
【变式训练2】已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱AA1长为b,且AA1与AB,AD的夹角都是120°.求AC1的长.
【解析】||2=2=(++)2
=2+2+2+2·+2·+2·
=a2+a2+b2+0+2abcos 120°+2abcos 120°
=2a2+b2-2ab.
所以|AC1|=.
题型三 利用坐标求法向量和证明垂直问题
【例3】 正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,E,F分别是BB1,CD的中点.
(1)求证:D1F⊥平面ADE;
(2)求平面ADE的一个法向量.
【解析】(1)建立如图所示的直角坐标系D-xyz,则D1(0,0,1),A(1,0,0),D(0,0,0), F(0,,0),E(1,1, ).
所以=(0,,-1), =(-1,0,0),=(0,1,),
因为·=0,所以⊥,
又·=0,所以⊥,
所以D1F⊥平面ADE.
(2)由(1)知D1F⊥平面ADE,故平面ADE的一个法向量为=(0,,-1).
【点拨】空间向量坐标化,大大降低了立体几何试题的难度,同学们需要善于利用.
【变式训练3】 已知平面α内有一个点M(1,-1,2),平面α的一个法向量为n=(6,
-3,6),则下列各点中,在平面α内的是( )
A.A(2,3,3) B.B(-2,0,1)
C.C(-4,4,0) D.D(3,-3,4)
【解析】由于n=(6,-3,6)是平面α的法向量,所以它应该和平面α内任意一个向量垂直,只有在选项A中,=(2,3,3)-(1,-1,2)=(1,4,1),·n=0.故选A.
题型四 利用坐标法求解线面及面面位置关系
【例4】如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点.
(1)证明:平面AED⊥平面A1FD1;
(2)在AE上求一点M,使得A1M⊥平面DAE.