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学

流 学

程 学 　　教 内 容 引入复习

例题讲解 学生探究过程：

　　我们已经用归纳法得到许多结论，例如，等差数列的通项公式，

自然数平方和公式．这些命题都与自然数有关，自然数有无限多个，我们无法对所有的自然数逐一验证．

　　怎样证明一个与自然数有关的命题呢？

　　讨论以下两个问题的解决方案：

　　（1）在本章引言的例子中，因为袋子里的东西是有限的，迟早可以把它摸完，这样总可以得到一个肯定的结论．因此，要弄清袋子里究竟装了什么东西是一件很容易的事．但是，当袋子里的东西是无限多个的时候，那怎么办呢？

　　（2）我们有时会做一种游戏，在一个平面上摆一排砖（每块砖都竖起），假定这排砖有无数块，我们要使所有的砖都倒下，只要做两件事就行了．第一，使第一块砖倒下；第二，保证前一块砖倒下后一定能击倒下一块砖．

一、复习引入：

问题1：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么办？

方法一：把它倒出来看一看就可以了．

特点：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性．

方法二：一个一个拿，拿一个看一个．

比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球，......，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球．

特点：有顺序，有过程．

问题2：在数列中，，先算出a2，a3，a4的值，再推测通项an的公式．

过程：，，，由此得到：，

解决以上两个问题用的都是归纳法.

数学运用

例1．用数学归纳法证明：等差数列中，为首项，为公差，则通项公式为．①

　　证：（1）当时，等式左边，等式右边，等式①成立．

　　（2）假设当时等式①成立，即，

　　那么，当时，有．

　　这就是说，当时等式也成立．

　　根据（1）和（2），可知对任何，等式①都成立．

　　注意：（1）这两个步骤是缺一不可的．数学归纳法的步骤（1）是命题论证的基础，步骤（2）是判断命题的正确性能否递推下去的保证；

　　（2）在数学归纳法证明有关问题的关键，在第二步，即时为什么成立？时成立是利用假设时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出时成立，而不是直接代入，否则时也成假设了，命题并没有得到证明；

　　（3）用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．

数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束．

理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必须用到n=k时命题成立这个条件

变式：用数学归纳法证明：等比数列中，为首项，为公比，则通项公式为．

　　例2．用数学归纳法证明：当时，．

　　证：（1）当时，等式左边，等式右边，等式成立．

　　（2）假设当时等式成立，即，

　　那么，当时，有

　　　　　　　　　　．

　　这就是说，当时等式也成立．

　　根据（1）和（2），可知对任何，等式都成立．

　　变式：用数学归纳法证明：，