所以x2＋y2＝(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2＝，

　　当且仅当时，即时"＝"成立．

　　所以x2＋y2的最小值为.

　　利用柯西不等式求最值

　　(1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；　

　　(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；

　　(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．

　　　1.若a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求ax＋by的最小值．

　　解：因为a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，

　　由柯西不等式(a2＋b2)(x2＋y2)≥(ax＋by)2，得1≥(ax＋by)2，

　　所以ax＋by的最小值为－1.

　　2．已知2x2＋y2＝1，求2x＋y的最大值．

　　解：2x＋y＝×x＋1×y≤×＝×＝.

　　当且仅当x＝y＝时取等号．

　　所以2x＋y的最大值为.

　　　利用柯西不等式的代数形式证明不等式[学生用书P41]

　　　已知a1，a2，b1，b2为正实数，求证：(a1b1＋a2b2)·(＋)≥(a1＋a2)2.

【证明】　(a1b1＋a2b2)(＋)