基本函数推导过程

这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程：

⒈y=c(c为常数） y'=0

⒉y=x^n y'=nx^(n-1）

3.y=a^x y'=a^xlna

y=e^x y'=e^x

⒋y=logax(a为底数，x为真数） y'=1/x*lna

y=lnx y'=1/x

⒌y=sinx y'=cosx

⒍y=cosx y'=-sinx

⒎y=tanx y'=1/cos^2x

⒏y=cotx y'=-1/sin^2x

⒐y=arcsinx y'=1/√（1-x^2）

⒑y=arccosx y'=-1/√（1-x^2）

⒒y=arctanx y'=1/（1+x^2）

⒓y=arccotx y'=-1/（1+x^2）

⒔y=u^v ==> y'=v' * u^v * lnu + u' * u^(v-1） * v

引用的常用公式：

在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：

⒈y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]·g'(x）『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x）中把x看作变量』

⒉y=u/v,y'=（u'v-uv'）/v^2

⒊y=f(x）的反函数是x=g(y），则有y'=1/x'

2推导过程：

证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c，△y=c-c=0,lim△x→0△y/△x=0。

⒉这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。

⒊y=a^x,

△y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1）

△y/△x=a^x(a^△x-1）/△x

如果直接令△x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^△x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：△x=loga（1+β）。

所以（a^△x-1）/△x=β/loga（1+β）=1/loga（1+β）^1/β

显然，当△x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0（1+β）^1/β=e，所以limβ→01/loga（1+β）^1/β=1/logae=lna。

把这个结果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1）/△x后得到lim△x→0△y/△x=a^xlna。

可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。