第二章　数列

2.5　等比数列的前n项和

2.5　等比数列的前n项和(第2课时)

学习目标

　　掌握等比数列的前n项和公式,能用等比数列的前n项和公式解决相关问题.通过等比数列的前n项和公式的推导过程,体会"错位相减法"以及分类讨论的思想方法.通过对等比数列的学习,发展数学应用意识,逐步认识数学的科学价值、应用价值,发展数学的理性思维.

合作学习

　　一、设计问题,创设情境

　　复习引入:

　　1.等比数列的通项公式　　　　　　　　　　　　　　;

　　2.等比数列的前n项和公式　　　　　　　　　　　　　　.

　　3.类比等差数列的前n项和,等比数列的前n项和会有怎样的性质?

　　已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和.

　　可以证明若k∈N*,Sk,S2k-Sk,　　　　　　　成等差数列.

　　那么等比数列是否有类似的性质?

　　二、信息交流,揭示规律

　　1.等比数列的通项公式和前n项和公式这两个公式中含有五个量,分别是Sn,an,n,q,a1,两个公式对应两个方程,因此已知其中的三个量就可以求另外的两个量,即"知三求二".

　　把公式看成方程,两个公式对应两个方程,可以解决两个未知数.

　　2.已知数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和.

　　可以证明:k∈N*,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成等比数列.

　　Sk=a1+a2+a3+...+ak=a1(1+q+q2+...+qk-1),

　　S2k-Sk=ak+1+ak+2+ak+3+...+a2k=ak+1(1+q+q2+...+qk-1),

　　S3k-S2k=a2k+1+a2k+2+a2k+3+...+a3k=a2k+1(1+q+q2+...+qk-1),

　　(S_3k "-" S_2k)/(S_2k "-" S_k )=(S_2k "-" S_k)/S_k =　　　　　　　.

　　三、运用规律,解决问题

　　【例1】在等比数列{an}中,已知a1=2,S3=26,求q和Sn.

　　【例2】在等比数列{an}中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n.

　　【例3】已知Sn是数列{an}的前n项和,Sn=pn(p∈R,n∈N*),判断{an}是否为等比数列?