例1：下列各题中，哪些p是q的充要条件？

（１） p:b＝0,q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；

（２） p:x ＞ 0,y ＞ 0,q: xy＞ 0；

（３） p: a ＞ b ,q: a + c ＞ b + c；

（４） p:x ＞ 5, ,q: x ＞ 10

（５） p: a ＞ b ,q: a2 ＞ b2

分析：要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p．

解：命题（１）和（３）中，pq ，且qp，即p  q，故p 是q的充要条件；

命题（２）中，pq ,但q　　p，故p 不是q的充要条件；

命题（４）中，pq ，但qp，故p 不是q的充要条件；

命题（５）中，pq ，且qp，故p 不是q的充要条件；

例2：已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．

分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性（pq）和必要性（qp）即可．

证明过程略．

例3、设p是r的充分而不必要条件，q是r的充分条件，r成立，则s成立．s是q的充分条件，问（1）s是r的什么条件？（2）p是q的什么条件？

4．四种条件：

　　一般地，

　　若pq ,但q　　p，则称p是q的充分但不必要条件；

　　若pq，但q　　p，则称p是q的必要但不充分条件；

　　若p  q,则p 与 q互为充要条件.

　　若pq，且q　　p，则称p是q的既不充分也不必要条件．

在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：

　　①若pq ,但q　　p，则p是q的充分但不必要条件；