§2.3　等差数列的前n项和

第1课时　等差数列前n项和公式的推导及简单应用

学习目标　1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个.3.能用an与Sn的关系求an.

知识点一　等差数列前n项和公式

思考　高斯用1＋2＋3＋...＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋...＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和.但如果是求1＋2＋3＋...＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？

答案　不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对.但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：

设Sn＝1＋2＋3＋...＋(n－1)＋n，

又Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋...＋2＋1，

∴2Sn＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋...＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)，

∴2Sn＝n(n＋1)，

∴Sn＝.

梳理　等差数列的前n项和公式

已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用公式 Sn＝ Sn＝na1＋d

知识点二　a1，d，n，an，Sn知三求二

思考　在等差数列{an}中，若已知d，n，an，如何求a1和Sn?

答案　利用an＝a1＋(n－1)d代入d，n，an，可求a1，利用Sn＝或Sn＝na1＋d可求Sn.

梳理　(1)两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，项和前n项和.

(2)依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即"知三求二".