典题精讲

例1 已知sinα=t且|t|<1,求角α的余弦值和正切值.

思路分析:利用三角函数基本关系式,分类讨论求解，即要考虑到α所在象限，以及要求的三角函数值的正负情况.

解:∵sinα=t且|t|<1,∴角α可能为四个象限的角和x轴上的轴线角.

(1)当α为第一、四象限或x轴正半轴上的角时,

有cosα=,tanα==.

(2)当α为第二、三象限或x轴负半轴上的角时,

有cosα=,

tanα==-.

绿色通道:若已知正弦、余弦、正切中的某一个三角函数值是用字母表示的,且角所在象限也没有指定时,这个角α可能在四个象限(也可能是轴线角),此时,不必按四个象限讨论,只需将四个象限角(可能含轴线角)的三角函数值分成两组讨论.

变式训练 1

已知sinα=，≤α≤π，则tanα等于______.

思路解析:由sinα=，≤α≤πcosα=,所以tanα=-2.

答案:-2

变式训练 2

sin2α>0且cosα<0,试确定α所在的象限.

思路分析:由sin2α>0得出α的范围,再由cosα<0得出α的范围,两者取交集即可.

解:∵sin2α>0,∴2kπ<2α<2kπ+π(k∈Z).

∴kπ<α

当k=2n(n∈Z)时,有2nπ<α<2nπ+(n∈Z),

∴α为第一象限角.

当k=2n+1(n∈Z)时,有2nπ+π<α<2nπ+(n∈Z),∴α为第三象限角.

∴α为第一或第三象限角.

由cosα<0，知α在第二或第三象限或α终边在x轴的负半轴上.

综上所述,知α为第三象限角.

例2 y=的定义域是_____________.

思路解析:利用函数y=sinx,y=cosx,y=tanx的定义域及分式函数的定义域即可求解.

要使函数有意义必须使tanx有意义且tanx≠0，