解析　(1)函数f(x)的定义域为R.

因为f '(x)=2x·ex+(1+x2)ex=(x2+2x+1)ex=(x+1)2ex≥0,

所以函数f(x)在R上单调递增,即f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间.

(2)证明:因为a>1,所以f(0)=1-a<0,f(ln a)=(1+ln2a)·eln a-a=aln2a>0,

所以f(0)·f(ln a)<0,由零点存在性定理可知f(x)在(0,ln a)内存在零点.

又由(1)知, f(x)在R上单调递增,故f(x)在(-∞,+∞)上仅有一个零点.

(3)证明:设点P(x0,y0),由题意知, f '(x0)=(x0+1)2=0,解得x0=-1.

所以y0=(1+)-a=-a,所以点P的坐标为.

所以kOP=a-.

由题意可得, f '(m)=(m+1)2em=a-.

要证明m≤-1,只需要证明m+1≤,

只需要证明(m+1)3≤a-=(m+1)2em,

只需要证明m+1≤em.

构造函数:h(x)=ex-x-1(x∈R),则h'(x)=ex-1.

当x<0时,h'(x)<0,即h(x)在(-∞,0)上单调递减;

当x>0时,h'(x)>0,即h(x)在(0,+∞)上单调递增.

所以函数h(x)有最小值,为h(0)=0,则h(x)≥0.

所以ex-x-1≥0,故em-m-1≥0,故m+1≤em,故原不等式成立.

10.(2018课标Ⅱ,21,12分)已知函数f(x)=ex-e-x-2x.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x>0时,g(x)>0,求b的最大值;

(3)已知1.414 2<<1.414 3,估计ln 2的近似值(精确到0.001).

解析　(1)f '(x)=ex+e-x-2≥0,等号仅当x=0时成立.

所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.

(2)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x)+(8b-4)x,

g'(x)=2[e2x+e-2x-2b(ex+e-x)+(4b-2)]

=2(ex+e-x-2)(ex+e-x-2b+2).

(i)当b≤2时,g'(x)≥0,等号仅当x=0时成立,

所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增.而g(0)=0,所以对任意x>0,g(x)>0.

(ii)当b>2时,若x满足2

综上,b的最大值为2.

(3)由(2)知,g(ln)=-2b+2(2b-1)ln 2.

当b=2时,g(ln)=-4+6ln 2>0,

ln 2>>0.692 8;

当b=+1时,ln(b-1+)=ln,

g(ln)=--2+(3+2)ln 2<0,

ln 2<<0.693 4.

所以ln 2的近似值为0.693.

11.(2018广东,21,14分)设函数f(x)=,其中k<-2.

(1)求函数f(x)的定义域D(用区间表示);

(2)讨论函数f(x)在D上的单调性;

(3)若k<-6,求D上满足条件f(x)>f(1)的x的集合(用区间表示).

解析　(1)由题意得(x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)-3>0,

∴[(x2+2x+k)+3]·[(x2+2x+k)-1]>0,

∴x2+2x+k<-3或x2+2x+k>1,

∴(x+1)2<-2-k(-2-k>0)或(x+1)2>2-k(2-k>0),

∴|x+1|<或|x+1|>,

∴-1--1+,

∴函数f(x)的定义域D为

(-∞,-1-)∪(-1-,-1+)∪(-1+,+∞).

(2)f '(x)=-