为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点．证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.

考点　向量法求解平面与平面的位置关系

题点　向量法解决面面垂直

证明　方法一　如图，以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，)，C1(0,1，)．

∵D为BC的中点，∴D点坐标为(1,1,0)，

∴\s\up6(→(→)＝(1,1,0)，\s\up6(-→(-→)＝(0,0，)，\s\up6(→(→)＝(－2,2,0)，

∴\s\up6(→(→)·\s\up6(→(→)＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0，

\s\up6(-→(-→)·\s\up6(→(→)＝0×(－2)＋0×2＋×0＝0，

∴\s\up6(→(→)⊥\s\up6(→(→)，\s\up6(-→(-→)⊥\s\up6(→(→)，

∴BC⊥AD，BC⊥AA1.

又A1A∩AD＝A，∴BC⊥平面A1AD.

又BC⊂平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.

方法二　同方法一建系后，得\s\up6(-→(-→)＝(0,0，)，

\s\up6(→(→)＝(1,1,0)，\s\up6(→(→)＝(－2,2,0)，\s\up6(-→(-→)＝(0，－1，)．

设平面A1AD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，

平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．

由\s\up6(-→(n1·\o(AA1,\s\up6(-→)得

令y1＝－1，则x1＝1，z1＝0，

∴n1＝(1，－1,0)．

由\s\up6(→(n2·\o(BC,\s\up6(→)得