3.3.3 导数的实际应用

一、教学目标：理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法.弄请函数极值与最值的区别与联系.养成"整体思维"的习惯，提高应用知识解决实际问题的能力.

二、教学重点：求函数的最值及求实际问题的最值.

教学难点：求实际问题的最值.掌握求最值的方法关键是严格套用求最值的步骤，突破难点要把实际问题"数学化"，即建立数学模型.

三、教学过程：

（一）复习引入

1、问题1：观察函数f(x)在区间[a，b]上的图象，找出函数在此区间上

　的极大值、极小值和最大值、最小值．

2、问题2：观察函数f(x)在区间[a，b]上的图象，找出函数在此区间上

　的极大值、极小值和最大值、最小值．

（见教材P30面图1．3－14与１．３－15）

3、思考：⑴ 极值与最值有何关系？

⑵ 最大值与最小值可能在何处取得？

⑶ 怎样求最大值与最小值？

4、求函数y＝在区间[0, 3]上的最大值与最小值．

（二）讲授新课

1、函数的最大值与最小值

　　一般地，设y＝f(x)是定义在[a，b]上的函数，在[a，b]上y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值。

函数的极值是从局部考察的，函数的最大值与最小值是从整体考察的。

2、求y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值，可分为两步进行：

　⑴ 求y＝f(x)在(a，b)内的极值；

　⑵ 将y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

例1．求函数y＝x4－2x2＋5在区间[－2, 2]上的最大值与最小值．

解： y'＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)令y'＝0，即 4x(x＋1)(x－1)＝0，

　解得x＝－1，0，1．当x变化时，y'，y的变化情况如下表：