＝

＝≤0，

所以＋≥，

即1＋＋＋...＋＋≥，

所以当n＝k＋1时不等式成立.

由(1)(2)知，不等式对一切n∈N＋都成立.

题型三　用数学归纳法证明整除问题

例3　求证n∈N＋时，an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除.

证明　(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立.

(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，

则当n＝k＋1时，

ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1

＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1

＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.

由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，

故当n＝k＋1时命题成立.

由(1)(2)知，对任意n∈N＋，命题成立.

反思与感悟　用数学归纳法证明数的整除性问题时，关键是从当n＝k＋1时的式子中拼凑出当n＝k时能被某数整除的式子，并将剩余式子转化为能被该数整除的式子.

跟踪训练3　用数学归纳法证明对于任意非负整数n，An＝11n＋2＋122n＋1能被133整除.

证明　(1)当n＝0时，A0＝112＋12＝133，能被133整除.

(2)假设当n＝k(k≥0)时，Ak＝11k＋2＋122k＋1能被133整除，

那么当n＝k＋1时，Ak＋1＝11k＋3＋122k＋3＝11·11k＋2＋122·122k＋1＝11·11k＋2＋11·122k＋1＋(122－11)·122k＋1＝11·(11k＋2＋122k＋1)＋133·122k＋1，能被133整除.