Q两点，若|PQ|＝，求椭圆方程．

考点　由椭圆的简单几何性质求方程

题点　由椭圆的几何特征求方程

解　∵e＝，∴b2＝a2，

∴椭圆方程为x2＋4y2＝a2，

与x＋2y＋8＝0联立消去y，

得2x2＋16x＋64－a2＝0，

由Δ＞0，得a2＞32，

由弦长公式，得10＝×[64－2(64－a2)]，

∴a2＝36，b2＝9，

∴椭圆方程为＋＝1.

类型三　椭圆中的最值(或范围)问题

例3　已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.

(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；

(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．

考点　直线与椭圆的位置关系

题点　椭圆中的定点、定值、取值范围问题

解　(1)由

消去y，得5x2＋2mx＋m2－1＝0，

因为直线与椭圆有公共点，

所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤.

(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0，

所以x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)，

所以|AB|＝

＝＝

＝＝.

所以当m＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y＝x.

反思与感悟　求最值问题的基本策略