根据正切函数的周期性,把图2向左、右扩展,得到正切函数y=tanx,x∈R,且x≠+kπ(k∈Z)的图像,我们称正切曲线,如图3.

图3

问题④,教师引导学生观察正切曲线,点拨学生讨论思考,只需确定哪些点或线就能画出函数y=tanx,x∈(-,)的简图.学生可看出有三个点很关键:(-,-1),(0,0),(,1),还有两条竖线.因此,画正切函数简图的方法就是:先描三点(-,-1),(0,0),(,1),再画两条平行线x=-,x=,然后连线.教师要让学生动手画一画,这对今后解题很有帮助.

讨论结果:①略.

②正切线是AT.

③略.

④能.

⑤"三点两线"法.

性质如下:

(1)周期性

由诱导公式

tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠+kπ,k∈Z,

可知,正切函数是周期函数,周期是π.

这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正切函数的周期性,后面的正切函数图像作出以后,还可从图像上观察正切函数的这一周期性.

(2)奇偶性

由诱导公式

tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠+kπ,k∈Z,

可知,正切函数是奇函数,所以它的图像关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图像还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(,0),k∈Z.

(3)单调性

通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(-,)内是增函数,