由①式，不等式③等价于m2－6m＋1＜4t2.④

对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1＜0，即3－2＜m＜3＋2.

【变式训练2】已知抛物线y2＝4x的一条弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直线与y轴的交点坐标为(0,2)，则＋＝　　　.

【解析】⇒y2－4my＋8m＝0，

所以＋＝＝.

题型三　有关抛物线的综合问题

【例3】已知抛物线C：y＝2x2，直线y＝kx＋2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.

(1)求证：抛物线C在点N处的切线与AB平行；

(2)是否存在实数k使·＝0？若存在，求k的值；若不存在，说明理由.

【解析】(1)证明：如图，设A(x1,2x)，B(x2,2x)，

把y＝kx＋2代入y＝2x2，得2x2－kx－2＝0，

由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝－1，

所以xN＝xM＝＝，所以点N的坐标为(，).

设抛物线在点N处的切线l的方程为y－＝m(x－)，

因为直线l与抛物线C相切，

所以Δ＝m2－8(－)＝m2－2mk＋k2＝(m－k)2＝0，

所以m＝k，即l∥AB.

(2)假设存在实数k，使·＝0，则NA⊥NB，

又因为M是AB的中点，所以|MN|＝|AB|.

由(1)知yM＝(y1＋y2)＝(kx1＋2＋kx2＋2)＝[k(x1＋x2)＋4]＝(＋4)＝＋2.

因为MN⊥x轴，所以|MN|＝|yM－yN|＝＋2－＝.

又|AB|＝·|x1－x2|＝·