4.2 圆锥曲线的共同特征

自主整理

1.圆锥曲线的共同特征:圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离___________为定值e,当01时,圆锥曲线是___________;当e=1时,圆锥曲线是___________.

其中,e是___________,定点是圆锥曲线的___________,定直线是圆锥曲线的___________.

2.椭圆和双曲线都有两条准线,椭圆=1(a>b>0)的准线方程为___________,=1(a>b>0)的准线方程为___________,双曲线=1(a>0,b>0)的准线方程为___________,双曲线=1(a>0,b>0)的准线方程为___________.

3.抛物线有___________焦点___________,准线___________.

高手笔记

1.理解圆锥曲线的共同特征,由于e的取值不同,导致圆锥曲线从形状上依次表示椭圆,双曲线和抛物线,应注意定义中的定点与定直线是对应的,如F为左焦点时,l为左准线,若F为右焦点,则l为右准线等.切记不可以左焦点F对应右准线l等情况发生.

2.利用圆锥曲线的共同特征可以写出焦半径公式.如椭圆=1(a>b>0)上一点P(x0,y0),则|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0.再如双曲线方程=1(a>0,b>0),若P(x0,y0)为双曲线右支上一点时,|PF1|=a+ex0,|PF2|=ex0-a.对于双曲线中的焦半径的表达式中,点P在左,右两支上时,形式有所不同,此问题无需死记,只要运用圆锥曲线的共同特征,便可迅速求出结果来.

名师解惑

如何求圆锥曲线的准线方程?

剖析:首先应确定圆锥曲线的标准方程,根据焦点所在坐标轴,对应的准线方程形式写出相应的准线方程来.准线方程取决于圆锥曲线在坐标系中的位置,但准线到椭圆,双曲线中心的距离不变,据此可写出准线方程.准线总是垂直于焦点所在的坐标轴.椭圆和双曲线的准线方程形式有x=±或y=±,而抛物线的准线方程形式有x=±或y=±.若椭圆,双曲线和抛物线方程不是标准方程时,它的准线方程就不是上面的形式,应根据曲线在坐标系中的位置来确定准线方程.

讲练互动

【例1】已知定点A(-2,),点F为椭圆=1的右焦点,点M在椭圆上运动,求|AM|+2|MF|的最小值,及此时点M的坐标.

解析:应用椭圆的几何性质及圆锥曲线的共同特征,把式子中|MF|用点M到相应准线的距