高手支招3综合探究

应用复合函数的求导法则时,应该注意的事项.

(1)首先,常数以及基本初等函数的导数我们已经会求了.其次,应用函数的和、差、积、商的求导法则,常数与基本初等函数的和、差、积、商的导数也会求了.所以,如果一个函数能分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商,我们便可求它的导数.

(2)运用复合函数求导法则求复合函数的导数,注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数.

(3)应用复合函数求导法则时,首先要分析所给函数可看作哪些函数复合而成,或者说,所给函数能分解成哪些函数.如果所给函数能分解成比较简单的函数,而这些简单函数的导数我们已经会求,那么应用复合函数求导法则就可以求所给函数的导数了.

(4)分清复合函数的复合关系,选好中间变量.根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数,并把中间变量换成自变量的函数.如何设中间变量,弄清复合函数是由哪些基本函数复合而成,把哪一部分看成一个整体.求导的次序是由外向内.对于复合函数的求导,要注意分析复合函数的结构,引入中间变量,将复合函数分解成为较简单的函数,然后再用复合函数的求导法则求导.

(5)求复合函数的导数,关键在于分析清楚函数的复合关系,选好中间变量.一些根式函数或分母上是幂函数,分子为常数的分式函数,通常经过变形,转化成幂函数,这样求导起来会比较方便,利用幂函数的求导公式.

高手支招4典例精析

【例1】指出下列函数的复合关系.

(1)y=(2-x2)3;(2)y=sinx2;(3)y=cos(-x).

思路分析：由复合函数的定义可知,中间变量的选择应是基本函数的结构,解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次,一般是从最外层开始,由外向内,一层一层地分析,把复合函数分解成若干个常见的基本函数,逐步确定复合过程.

解：(1)y=(2-x2)3由y=μ3,μ=2-x2复合而成.

(2)y=sinx2由y=sinμ,μ=x2复合而成.

(3)y=cos(-x)由y=cosμ,μ=-x复合而成.

【例2】求下列函数的导数:

(1)y=;(2)y=cos(3x-);

(3)y=sin2(2x+);(4)y=x.

思路分析：把一部分量或式子暂时当作一个整体,这个整体就是中间变量.求导数时需要记住中间变量,注意逐层求导,不能遗漏.求导数后,要把中间变量转换成自变量的函数.

解：(1)设μ=1-3x,y=μ-4,则y′x=y′μ·μ′x=-4μ-5·(-3)=;

(2)设μ=3x-,y=cosμ,则y′x=y′μ·μ′x=-sinμ·3=-3sin(3x-);

(3)设y=μ2,μ=sinv,v=2x+,则y′x=y′μ·μ′v·v′x=2μ·cosv·2=2sin(2x+)·cos(2x+)·2