从大小正方形的数量关系上,观察如右图所示的几何图形,试归纳得出的结论.

解：从大,小正方形的数量关系上容易发现

1=12,

1+3=2×2=22,

1+3+5=3×3=32,

1+3+5+7=4×4=42,

1+3+5+7+9=5×5=52,

1+3+5+7+9+11=6×6=62.

观察上述算式的结构特征,我们可以猜想:

1+3+5+7+...+(2n-1)=n2.

类题演练 3

Sn=,求出S1,S2,S3,S4,并归纳猜想Sn的表达式.

解：取n=1,2,3,4,计算可得S1=,S2=,S3=,S4=,观察4个结果,都是分数,分子正好等于和式的项数,分母比分子大1,故归纳猜想Sn=.

计算可得Sn=(1-)+(-)+...+-=1-=.

变式提升 3

观察下列已有的数的规律在( )内填入恰当的数.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 (①)(②)(③)(④) 1

1 (⑤)(⑥)(⑦)(⑧)(⑨) 1

解：①到⑨依次为5,10,10,5,6,15,20,15,6,每个数均为该数两肩之上的数之和.