【例1】 已知圆和圆交于两点，且这两点平分圆的圆周，求圆的圆心的轨迹方程，并求出圆的半径最小时圆的方程．

【答案】点的轨迹方程为；

当圆半径最小时，圆的方程为

【例2】 求与圆和圆都外切的圆的圆心P的轨迹方程为 ．

【答案】；

【例3】 已知：过点斜率为的直线与⊙：相交与、两点．

⑴ 求实数的取值范围；

⑵ 求证：为定值；

⑶ 若为坐标原点，且，求的值．

【答案】⑴，

⑵ 利用切割线定理知：，其中为切线，为切点．

根据向量的运算：为定值．

⑶．

【例4】 从抛物线的顶点引两条互相垂直的弦、，作．则点的轨迹方程为 ．

【答案】

【例5】 已知圆，直线，下面四个命题：

① 对任意实数与，直线和圆相切；

② 对任意实数与，直线和圆有公共点；

③ 对任意实数，必存在实数，使得直线与和圆相切；

④ 对任意实数，必存在实数，使得直线与和圆相切．

其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）

【答案】②④；