若A＝B，则p，q互为充要条件 若A⃘B且B⃘A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}.

题型一　充要条件的判断

例1　(1)设x＞0，y∈R，则"x＞y"是"x＞|y|"的(　　)

A.充要条件 B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

答案　C

解析　分别判断x＞y⇒x＞|y|与x＞|y|⇒x＞y是否成立，从而得到答案.

当x＝1，y＝－2时，x＞y，但x＞|y|不成立；

若x＞|y|，因为|y|≥y，所以x＞y.

所以x＞y是x＞|y|的必要而不充分条件.

(2)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？

①在△ABC中，p：∠A>∠B，q：sin A>sin B；

②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；

③p：|x|>3，q：x2>9.

解　①在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔sin A>sin B，

所以p是q的充要条件.

②若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q；

若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q，

所以p是q的充要条件.

③由于p：|x|>3⇔q：x2>9，所以p是q的充要条件.

反思与感悟　判断p是q的充分必要条件的两种思路

(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立.若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件.

(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时