1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

　　[学习目标]

　　1．能利用导数的四则运算法则求解导函数．

　　2．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．

　　[目标解读]

　　1．重点是利用导数的四则运算法则求导．

　　2．难点是导数公式的综合应用及复合函数的求导．

　　[情景引入]

　　空气清新可人，水面上的叶子苍翠无比，池塘里的水也绿绿的，偶尔还能见几条小鱼儿自由自在地游来游去．微风过处，池塘水面上泛起粼粼微波，一排接着一排涌向池边，回击在池中，形成回环的波浪．我沉醉了，是啊！基本的是简单的美，复合的是深沉的美，生活如此，我们的学习又何尝不是呢？复合函数作为一个重要的知识点，它的导数如何求呢？

　　提示：复合函数的求导建立在基本初等函数求导公式基础上，应用复合函数的求导公式求解．

[新知探究]

　　1．复合函数的求导

　　(1)复合函数的概念

　　对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成 ，那么称这个函数为函数 和 的复合函数，记作y＝f(g(x))．

　　(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝

　　g(x)的导数间的关系：yx′＝ .

　　问题探究2：若复合函数y＝f(g(x))由函数y＝f(u)，u＝g(x)复合而成，则函数y＝f(u)，u＝g(x)的定义域、值域满足什么关系？

　　提示：在复合函数中，内层函数u＝g(x)的值域必须是外层函数y＝f(u)的定义域的子集．

【例题讲解】

　　例1 求下列函数的导数．

　　(1)y＝x2＋log3x；(2)y＝x3·ex；(3)y＝；(4)y＝；(5)y＝sin4＋cos4.

　　【思路启迪】　①②③④结合常见函数的导数公式及导数的四则运算法则直接求导；⑤先化简，再求导．

　　【解】　(1)y′＝(x2＋log3x)′

　　＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋.

(2)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′＝3x2·ex＋x3·ex.