C.①②④ D.①②③④
答案 C
解析 ①②显然是等比数列;由于x可能为0,③不是;
a不能为0,④符合等比数列定义,故④是.
命题角度2 已知递推公式判断是否为等比数列
例2 已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1.
(1)证明:数列{an+1}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明 ∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1).
由a1=1,知a1+1≠0,从而an+1≠0.
∴=2(n∈N+).
∴数列{an+1}是等比数列.
(2)解 由(1)知{an+1}是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列.
∴an+1=2·2n-1=2n.即an=2n-1.
反思感悟 等比数列的判定方法
(1)定义法:=q(n≥2,q是不为0的常数)⇔{an}是公比为q的等比数列.
(2)等比中项法:a=an-1·an+1(n≥2,an,an-1,an+1均不为0)⇔{an}是等比数列.
跟踪训练2 数列{an}满足a1=-1,且an=3an-1-2n+3(n=2,3,...).
(1)求a2,a3,并证明数列{an-n}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
解 (1)a2=3a1-2×2+3=-4,
a3=3a2-2×3+3=-15.
===3(n=1,2,3,...).
又a1-1=-2,∴数列{an-n}是以-2为首项,3为公比的等比数列.
(2)由(1)知an-n=-2·3n-1,∴an=n-2·3n-1.
题型二 等比数列基本量的计算