要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？

解　设版心的高为x dm，则版心的宽为 dm，此时四周空白面积为

S(x)＝(x＋4)－128＝2x＋＋8，x>0.求导数，得S′(x)＝2－.

令S′(x)＝2－＝0，解得x＝16(x＝－16舍去)．于是宽为＝＝8.

当x∈(0,16)时，S′(x)<0；当x∈(16，＋∞)时，S′(x)>0.

因此，x＝16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点．

所以，当版心高为16 dm，宽为8 dm时，能使海报四周空白面积最小．

反思与感悟　(1)在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．

(2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．

跟踪训练1　如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为 米．

答案　32,16

　　　　　　　　　　　　　　探究点二　利润最大问题

例2　某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.则瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？

解　由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是y＝f(r)＝0.2×πr3－0.8πr2＝0.8π，0

令f′(r)＝0.8π(r2－2r)＝0.当r＝2时，f′(r)＝0.