题型三、利用排序不等式求最值

　　例3　设A，B，C表示△ABC的三个内角，a，b，c表示其对边，求的最小值(A，B，C用弧度制表示)．

　　【精彩点拨】　不妨设a≥b≥c＞0，设法构造数组，利用排序不等式求解．

　　【自主解答】　不妨设a≥b≥c，

　　则A≥B≥C.

　　由排序不等式，得

　　aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，

　　aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，

　　aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC，

　　将以上三式相加，得

　　3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)·(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)，

　　当且仅当A＝B＝C＝时，等号成立．

　　∴≥，

　　即的最小值为.

　　规律总结：

　　1．分析待求函数的结构特征，构造两个有序数组．

　　2．运用排序原理求最值时，一定要验证等号是否成立，若等号不成立，则取不到最值．

　　[再练一题]

　　3．已知x，y，z是正数，且x＋y＋z＝1，求t＝＋＋的最小值．

　　【解】　不妨设x≥y≥z>0，则x2≥y2≥z2，≥≥.

　　由排序不等式，乱序和≥反序和．

　　＋＋

　　≥x2·＋y2·＋z2·

　　＝x＋y＋z.

　　又x＋y＋z＝1，＋＋≥1，

当且仅当x＝y＝z＝时，等号成立．