2019-2020学年人教B版选修1-1 　导数的应用 (二) 学案

典例精析

题型一　利用导数证明不等式

【例1】已知函数f(x)＝x2＋ln x.

(1)求函数f(x)在区间[1，e]上的值域；

(2)求证：x＞1时，f(x)＜x3.

【解析】(1)由已知f′(x)＝x＋，

当x∈[1，e]时，f′(x)＞0，因此f(x)在 [1，e]上为增函数.

故f(x)max＝f(e)＝＋1，f(x)min＝f(1)＝，

因而f(x)在区间[1，e]上的值域为[，＋1].

(2)证明：令F(x)＝f(x)－x3＝－x3＋x2＋ln x，则F′(x)＝x＋－2x2＝，

因为x＞1，所以F′(x)＜0，

故F(x)在(1，＋∞)上为减函数.

又F(1)＝－＜0，

故x＞1时，F(x)＜0恒成立，

即f(x)＜x3.

【点拨】有关"超越性不等式"的证明，构造函数，应用导数确定所构造函数的单调性是常用的证明方法.

【变式训练1】已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0时，f′(x)＞0，g′(x)＞0，则x＜0时(　　)

A.f′(x)＞0，g′(x)＞0 B.f′(x)＞0，g′(x)＜0

C.f′(x)＜0，g′(x)＞0 D.f′(x)＜0，g′(x)＜0

【解析】选B.

题型二　优化问题

【例2】 (2012湖南模拟)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.

(1)试写出y关于x的函数关系式；

(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？

【解析】(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，

即n＝－1.

所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x