定点、定值、探索性问题

考点一　定点问题

【例1】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2且F2关于直线x－y＋a＝0的对称点M在直线3x＋2y＝0上．

(1)求椭圆的离心率；

(2)若C的长轴长为4且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点，问是否存在定点P，使得PA，PB的斜率之和为定值？若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，说明理由．

解　(1)依题知F2(c，0)，设M(x0，y0)，则＝－1且－＋a＝0，解得即M(－a，a＋c)．

∵M在直线3x＋2y＝0上，∴－3a＋2(a＋c)＝0，即a＝2c，∴e＝＝.

(2)存在．由(1)及题设得＝且2a＝4，∴a＝2，c＝1，

∴椭圆方程为＋＝1，

设直线l方程为y＝x＋t，代入椭圆方程消去y整理得x2＋tx＋t2－3＝0.

依题知Δ＞0，即t2－4(t2－3)＞0，t2＜4，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－t，x1x2＝t2－3，

如果存在P(m，n)使得kPA＋kPB为定值，那么kPA＋kPB的取值将与t无关，

kPA＋kPB＝＋＝，

令＝M，

由Mt2＋t＋m2M－3M－2mn＋3＝0，

由题意可知该式对任意t恒成立，其中t2＜4，