例1　以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于4个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．

解析　如图所示，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c，由题意知∠F1AF2＝90°，∠AF2F1＝60°.∴|AF2|＝c，

|AF1|＝2c·sin60°＝c.

∴|AF1|＋|AF2|＝2a＝(＋1)c.

∴e＝＝＝－1.

答案　－1

点评　本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决．

2．解方程(组)求离心率

例2　椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－c,0)，A(－a，0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为，则椭圆的离心率e＝________.

解析　如图所示，直线AB的方程为＋＝1，

即bx－ay＋ab＝0.

∵点F1(－c,0)到直线AB的距离为，∴＝，

∴|a－c|＝，即7a2－14ac＋7c2＝a2＋b2.

又∵b2＝a2－c2，整理，得5a2－14ac＋8c2＝0.