知识点三 定积分的性质

思考 你能根据定积分的几何意义解释ʃa(b)f(x)dx＝ʃa(c)f(x)dx＋ʃc(b)f(x)dx(其中a

答案 直线x＝c把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积S1，S2之和，即S＝S1＋S2.

梳理 (1)ʃa(b)kf(x)dx＝kʃa(b)f(x)dx(k为常数)．

(2)ʃa(b)[f1(x)±f2(x)]dx＝ʃa(b)f1(x)dx±ʃa(b)f2(x)dx.

(3)ʃa(b)f(x)dx＝ʃa(c)f(x)dx＋ʃc(b)f(x)dx(其中a

1．ʃa(b)f(x)dx＝ʃa(b)f(t)dt.( √ )

2．ʃa(b)f(x)dx的值一定是一个正数．( × )

3．ʃa(b)x(1)dx＝ʃa(b)x3dx＋ʃa(b)2(1)xdx.( √ )

类型一 利用定积分的定义求定积分

例1 利用定积分的定义，计算ʃ1(2)(3x＋2)dx的值．

考点 定积分的概念

题点 定积分的概念

解 令f(x)＝3x＋2.

(1)分割

在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[1,2]等分成n个小区间n(n＋i)(i＝1,2，...，n)，每个小区间的长度为Δx＝n(n＋i)－n(n＋i－1)＝n(1).

(2)近似代替、求和

取ξi＝n(n＋i－1)(i＝1,2，...，n)，则

Sn＝f(n) n(n＋i－1)·Δx