用数学归纳法证明平面几何问题

用数学归纳法证明平面几何问题的关键是确定几何元素从k增加到k+1时，所证的几何量增加多少，从而建立k与k+1之间的递推关系.

平面内有n(n∈N )个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，用数学归纳法证明:这n个圆把平面分成f(n)=n2-n+2个部分.

【解析】（1）当n=1时,f(1)=12-1+2=2,一个圆把平面分成两部分,命题成立.

（2）假设当n=k(k∈N )时命题成立,即k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2个部分.

那么当n=k+1时,第k+1个圆与其他k个圆相交于2k个点,第k+1个圆被分成2k条弧,而每条弧把原区域分成2块,学 .

因此,这个平面被分成的总区域数增加了2k块,

即f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2,

故当n=k+1时命题也成立.

根据（1）和（2）,可知命题对任何n∈N 都成立.

归纳、猜想及证明

有关正整数的归纳、猜想问题，都需要由归纳推理得到猜想，然后用数学归纳法证明猜想正确.