证明结论．

　　2．应用数学归纳法证明问题的条件和n0值的确定

　　剖析：数学归纳法一般用 证明某些涉及正整数n的命题，n可取无限多值，但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳法证明，例如用数学归纳法证明(1＋)n(n∈N＋)的单调性就难以实现，一般说 ，从k＝n到k＝n＋1时，如果问题中存在可利用的递推关系，则使用数学归纳法较容易，否则使用数学归纳法就有困难．

　　在运用数学归纳法时，要注意起点n并非一定取1，也可能取0,2等，要看清题目，比如证明凸n边形的内角和f(n)＝(n－2)×180°，这里面的n应不小于3，即n≥3，第一个值n0＝3.

　　归纳假设的使用是数学归纳法证明的关键，这也是能否由"n＝k"递推到"n＝k＋1"的关键，在证明过程中，需根据命题的变化或者在步骤的变化中，从数学式子的结构特点上，利用拼凑的方法，凑假设，凑结论，从而使"递推关系"得以顺利进行，命题得以证明．

　　题型一 用数学归纳法证明整除问题

　　【例1】 用数学归纳法证明(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N＋)．

　　分析：证明一个与n有关的式子f(n)能被一个数a(或一个代数式g(n))整除，主要是找到f(k＋1)与f(k)的关系，设法找到式子f1(k)，f2(k)，使得f(k＋1)＝f(k)·f1(k)＋a·f2(k)，就可证得命题成立．

　　反思：利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式．这往往要涉及"添项"与"减项""因式分解"等变形技巧，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．

　　题型二 用数学归纳法证明恒等式

　　【例2】 已知{an}是由非负整数组成的数列，满足a1＝0，a2＝3，an＋1an＝(an－1＋2)(an－2＋2)，n＝3,4,5，....

　　(1)求a3；

　　(2)证明：an＝an－2＋2，n＝3,4,5，....

　　分析：用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题关键是第二步，要注意当n＝k＋1时，等式两边的式子与n＝k时等式两边的式子的联系，增加了哪些项，减少了哪些项，问题就会顺利解决．

　　反思：利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设．

　　题型三 用数学归纳法解决几何中的有关问题

　　【例3】 平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证：这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N＋)．

　　分析：因为f(n)为n个圆把平面分割成的区域数，那么再有一个圆和这n个圆相交，就有2n个交点，这些交点将增加的这个圆分成2n段弧，且每一段弧又将原 的平面区域一分为二，因此，增加一个圆后，平面分成的区域数增加2n个，即f(n＋1)＝f(n)＋2n.

　　有了上述关系，数学归纳法的第二步证明就很容易解决．

反思：对于几何问题的证明，可以从有限情形中归纳出一个变化的过程，或者说体会出是怎样变化的，然后再去证明，也可以用"递推"的办法，比如本题，n＝k＋1时的结果已经知道：f(k＋1)＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，用f(k＋1)－f(k)就可得到增加的部分，然后从