过程中理解并记忆这些性质.

讨论结果:①略(见活动).

②向量的数量积的几何意义为数量积a·b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积.

应用示例

思路1

例1 已知|a.|=3,|b|=4,且a与b的夹角θ=150°,求a·b.

活动:本例是让学生熟悉向量数量积的基本概念.

解:a·b=|a||b|cosθ=3×4×cos150°=12×(-)=-6.

点评:直接利用向量数量积的定义.

例2 已知平面上三点A、B、C满足||=2,||=1,||=3,求·+·+·的值.

活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析题设然后找到所需条件.因为已知、、的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的夹角.结合勾股定理可以注意到△A.BC是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果.

解:由已知,||2+||2=||2,∴△ABC是直角三角形.而且∠ACB=90°,

从而sin∠A.BC=,sin∠BAC=

∴∠ABC=60°,∠BAC=30°.

∴与的夹角为120°,与的夹角为90°,与的夹角为150°.

故·+·+·

=2×1×cos120°+1×cos90°+×2cos150°=-4.

点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中与的夹角是120°,而不是60°.

变式训练

已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,求(a+2b)·(a-3b).

解:(a+2b)·(a-3b)=a·a-a·b-6b·b

=|a|2-a.·b-6|b|2

=|a|2-|a||b|cosθ-6|b|2

=62-6×4×cos60°-6×42

=-72.

例3 已知|a|=3,|b|=4,且a.与b不共线,当k为何值时,向量a+kb与a-kb互相垂直?

解:a+kb与a-kb互相垂直的条件是(a+kb)·(a-kb)=0,

即a2-k2b2=0.

∵a2=32=9,b2=42=16,∴9-16k2=0.

∴k=±