显然，当且仅当且，即时，才能称方程为曲线C的方程；曲线C为方程的曲线(图形)．

要点诠释：

　　在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可，它们都是"曲线的方程"和"方程的曲线"的必要条件．两者满足了，"曲线的方程"和"方程的曲线"才具备充分性．只有符合关系(1)、(2)，才能将曲线的研究转化为方程来研究，即几何问题的研究转化为代数问题．这种"以数论形"的思想是解析几何的基本思想和基本方法

　　考点二：求曲线方程的一般步骤

求简单的曲线方程的一般步骤：

　　（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；

　　（2）写出适合条件P的点M的集合；

　　（3）用坐标表示条件，列出方程;

　　（4）化方程为最简形式；

　　（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点

　　上述方法简称"五步法"，在步骤④中若化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤⑤可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程。

要点诠释：

　　1. 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用"先定形，后定式，再定量"的步骤：

　　定形--指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置；

　　定式--根据"形"设方程的形式，但当椭圆（或双曲线）的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为；

　　定量--由题设中的条件找到"式"中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。

　　2. 求曲线的轨迹方程常采用的方法有：直接法、定义法（待定系数法）、相关点法（转移）、参数法。

　　(1)直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程。

　　(2)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义（待定系数法）直接探求。

　　(3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程。

　　(4)参数法：若动点的坐标中的分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，然后消去参数，就得到轨迹的普通方程。

　　3. 求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性，要注意区别"轨迹"与"轨迹方程"是两个不同的概念。

【典型例题】

类型一：曲线和方程的关系