解　①当x2－2x－15＝0，即x＝－3或x＝5时，复数z为实数；

②当x2－2x－15≠0，即x≠－3且x≠5时，复数z为虚数；

③当x2＋x－6＝0且x2－2x－15≠0，即x＝2时，复数z是纯虚数；

④当x2＋x－6＝0且x2－2x－15＝0，即x＝－3时，复数z为零.

题型二　数形结合思想的应用

例2　已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.

解　设z＝x＋yi，x，y∈R，如图.

∵OA∥BC，|OC|＝|BA|，

∴kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，

即

解得或.

∵|OA|≠|BC|，∴x2＝－3，y2＝4(舍去)，

故z＝－5.

反思与感悟　数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法.本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现.它们得以相互转化.涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等.

跟踪训练2　已知复数z1＝i(1－i)3.

(1)求|z1|；

(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值.

解　(1)|z1|＝|i(1－i)3|＝|i|·|1－i|3＝2.

(2)如图所示，由|z|＝1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0,0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，－2).所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值.由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r为圆半径)＝2＋1.