2019-2020学年人教B版选修1-1 导数的应用一函数的单调性 学案

　　【学习目标】

　　1. 理解函数的单调性与其导数的关系。

　　2. 掌握通过函数导数的符号来判断函数的单调性。

　　3. 会利用导数求函数的单调区间。

　　【要点梳理】

要点一、函数的单调性与导数的关系

　　我们知道，如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么就说在这一区间具有单调性，先看下面的例子：

　　函数的图象如图所示。考虑到曲线的切线的斜率就是函数的导数，从图象可以看到：在区间（2，+∞）内，切线的斜率为正，即时，为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，即时，为减函数。

　　导数的符号与函数的单调性：

　　一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，

　　①若，则在这个区间上为增函数；

　　②若，则在这个区间上为减函数；

　　③若恒有，则在这一区间上为常函数.

　　反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．

要点诠释：

　　1.因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上为增函数；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。

　　2.若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增函数（减函数的情形完全类似）。

　　即在某区间上，在这个区间上为增函数；

在这个区间上为减函数，但反之不成立。