例2　已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图象与y＝f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．

解　由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，

可得f′(x)＝3x2－12x＋9，

f′(x)＋5x＋m＝(3x2－12x＋9)＋5x＋m＝x2＋x＋3＋m，

则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点，

∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，

∴令g′(x)＝0得x＝或x＝4.

当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：

x (－∞，) (，4) 4 (4，＋∞) g′(x) ＋ 0 － 0 ＋ g(x) 　　　↗ －m ↘ －16－m ↗

则函数g(x)的极大值为g()＝－m，极小值为g(4)＝－16－m.

∴由g(x)的图象与x轴有三个不同交点，

得解得－16

反思与感悟　极值问题的综合应用主要涉及极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用，在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．

跟踪训练2　已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.

(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；

(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？

解　(1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，

得f′(x)＝－3x2＋3，