由假设可知,上式的两部分都能被9整除。
故n=k+1时,命题也成立。
根据(1)和(2)可知对任意的,该命题成立。
证明整除性问题的关键是"凑项",可采用增项、减项、拆项和因式分解等手段,凑出n=k时的情形,从而利用归纳假设使问题获证。
例2、证明:凸n边形的对角线的条数。
证明:(1)当n=4时,,四边形有两条对角线,命题成立。
(2)假设n=k(k≥4)时,命题成立,即凸k边形的对角线的条数.
当n=k+1时,凸k+1边形是在k边形的基础上增加了一边,增加了一个顶点,增加的对角线条数是顶点与不相邻顶点连线再加上原k边形的一边,共增加的对角线条数为:(k+1-3)+1=k-1
∴。
故n=k+1时,命题也成立。
根据(1)和(2)可知对n≥4,公式都成立。
用数学归纳法证明几何问题的关键是"找项",即几何元素从k个变成k+1个时,所证的几何量将增加多少,这需用到几何知识或借助于几何图形来分析,在实在分析不出来的情况下,将n=k+1和n=k分别代入所证的式子,然后作差,即可求出增加量,然后只需稍加说明即可,这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧。
例3、已知数列满足,,试猜想的通项公式并用数学归纳法证明。
解:由和,得