(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
解析:根据已知条件可求出n,再根据n的奇偶性,确定出二项式系数最大的项.
T6=(2x)5,T7=(2x)6,依题意有25=·26n=8.
∴(1+2x)8的展开式中,二项式系数最大的项为
T5=·(2x)4=1 120x4.
设第r+1项系数最大,则有
∴r=5,或r=6(∵r∈{0,1,2,...,8}).
∴系数最大的项为T6=1 792x5,T7=1 792x6.
变式提升 2
求(2+x)10展开式系数最大的项.
解析:设第r+1项的系数最大,
则有
即
即∴
∴r=3时,T4=·27·x3为所求的系数最大的项.
类题演练 3
设(a+b)20的展开式的第4r项的系数与第r+2项的系数相等,求r的值.
解析:设(a+b)20的展开式的第4r项系数为,第r+2项系数为,
依题意得=,
∴4r-1=r+1,或4r-1+r+1=20.
解得r=(舍去),r=4.
∴r=4即为所求.
变式提升 3
(1)求+++...+的值;