平面向量的线性运算

1．向量线性运算的结果仍是一个向量，因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面．

2．向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题．

3．题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等．

　如图2­1，在△ABC中，点M是AB边的中点，E是中线CM的中点，AE的延长线交BC于F.MH∥AF交BC于H.求证：\s\up8(→(→)＝\s\up8(→(→)＝\s\up8(→(→).

图2­1

[思路探究]　选择两不共线向量作基底，然后用基底向量表示出\s\up8(→(→)、\s\up8(→(→)与\s\up8(→(→)即可证得．

[证明]　设\s\up8(→(→)＝a，\s\up8(→(→)＝b，

则\s\up8(→(→)＝a＋b，

\s\up8(→(→)＝\s\up8(→(→)＋\s\up8(→(→)＋\s\up8(→(→)

＝－\s\up8(→(→)＋2\s\up8(→(→)＋2\s\up8(→(→)

＝－a－b＋2a＋2b＝a＋b，

\s\up8(→(→)＝\s\up8(→(→)＋\s\up8(→(→)＝\s\up8(→(→)＋\s\up8(→(→)＝－\s\up8(→(→)＋\s\up8(→(→)＋\s\up8(→(→)

＝－b＋\s\up8(→(→)＋\s\up8(→(→)－\s\up8(→(→)＝－b＋a＋2\s\up8(→(→)－\s\up8(→(→)

＝－b＋a＋2b－b＝a＋b.

综上，得\s\up8(→(→)＝\s\up8(→(→)＝\s\up8(→(→).

[跟踪训练]

1.如图2­2，平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BM＝AB，点