f(x)在(0，＋∞)只有一个零点当且仅当h(x)在(0，＋∞)只有一个零点．

　　(ⅰ)当a≤0时，h(x)＞0，h(x)没有零点；

　　(ⅱ)当a＞0时，h′(x)＝ax(x－2)e－x.当x∈(0，2)时，h′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)时，h′(x)＞0.

　　所以h(x)在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增．

　　故h(2)＝1－是h(x)在[0，＋∞)的最小值．

　　①若h(2)＞0，即a＜，h(x)在(0，＋∞)没有零点；

　　②若h(2)＝0，即a＝，h(x)在(0，＋∞)只有一个零点；

　　③若h(2)＜0，即a＞，由于h(0)＝1，所以h(x)在(0，2)有一个零点．

　　由(1)知，当x＞0时，ex＞x2，所以

　　h(4a)＝1－＝1－＞1－＝1－＞0.

　　故h(x)在(2，4a)有一个零点．因此h(x)在(0，＋∞)有两个零点．

　　综上，f(x)在(0，＋∞)只有一个零点时，a＝.

　　根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是"数形结合"，即通过函数图象的交点个数确定参数满足的条件，把问题转化为使用计算方法研究参数满足的代数条件上，解决问题的步骤是"先形后数"．　

　　命题角度二　根据参数确定函数的零点个数

　　 已知函数f(x)＝(a，b∈R，a≠0)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为－a.

　　(1)求f(x)的单调区间；

　　(2)讨论方程f(x)＝1根的个数．

【解】　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，由f′(1)＝a－b＝－a，得b＝2a，所以f(x)＝，f′(x)＝－.