题型一　证明不等式

例1　设函数f(x)＝lnx－x＋1.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1<

(1)解　由题设知，f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.

当00，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减．

(2)证明　由(1)知，f(x)在x＝1处取得极大值也为最大值，最大值为f(1)＝0.

所以当x≠1时，lnx

故当x∈(1，＋∞)时，lnx

即1<

思维升华 (1)证明f(x)>g(x)的一般方法是证明h(x)＝f(x)－g(x)>0(利用单调性)，特殊情况是证明f(x)min>g(x)max(最值方法)，但后一种方法不具备普遍性．

(2)证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式，一种方法为变换不等式使两个变元成为一个整体，另一种方法为转化后利用函数的单调性，如不等式f(x1)＋g(x1)

跟踪训练1已知函数f(x)＝xlnx－ex＋1.

(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)证明：f(x)

(1)解　依题意得f′(x)＝lnx＋1－ex，

又f(1)＝1－e，f′(1)＝1－e，故所求切线方程为y－1＋e＝(1－e)(x－1)，即y＝(1－e)x.

(2)证明　依题意，要证f(x)

即证xlnx－ex＋1

即证xlnx

当00，xlnx≤0，

故xlnx

当x>1时，令g(x)＝ex＋sinx－1－xlnx，

故g′(x)＝ex＋cosx－lnx－1.