双曲线及其标准方程

1. 类比椭圆的定义，认识双曲线的定义．

2. 能根据双曲线的定义利用曲线方程的求法推导双曲线的方程.掌握a,b，c的关系 重点：双曲线的定义及其标准方程．难点：双曲线标准方程的推导． 方 法：合作探究 一新知导学（阅读教材p52类比椭圆定义得出双曲线定义）

1. 双曲线的定义

2强调"绝对值"和"0<2a<|F1F2|"不应忽视，

若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是__________；

若2a>|F1F2|，则动点的轨迹是__________．

注意关键词"________"，若去掉定义中"__________"三个字，动点轨迹只能是____________．

3. 双曲线的标准方程推导

焦点在x轴上的双曲线的标准方程为__________ ，焦点在y轴上的标准方程为_______．

4.在双曲线的标准方程中a、b、c的关系为___________.

椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系.

椭圆 双曲线 定义 标准方程 abc的关系 5.在椭圆的标准方程中，判断焦点在哪个轴上是看x2、y2项__________的大小，而在双曲线标准方程中，判断焦点在哪个轴上，是看x2、y2__________的符号．

二 牛刀小试1

1．已知两定点F1(－3,0)、F2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是(　　)

A||PF1|－|PF2||＝5　B．||PF1|－|PF2||＝6C．||PF1|－|PF2||＝7 D．||PF1|－|PF2||＝0

2．(2015·福建理)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　)

　　A．11 B．9 C．5 D．3

3.双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　)

　　A．(，0) B．(，0) C．(，0) D．(，0)

4．双曲线－＝1的焦距为(　　)

　　A．3 B．4 C．3 D．4

三合作探究

（一）双曲线定义的应用

　　【例一】1.若双曲线－＝1上一点P到点（5，0）的距离为15，求点P到点（-5,0）的距离。

　　2.已知F1 ，F2分别双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且|PF1|=2|PF2|=16，求△F1PF2 的周长。

跟踪训练1 . P是双曲线－＝1上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，且|PF1|＝17，则|PF2|的值为______________.

（二）待定系数法求双曲线的标准方程

【例二】 1）已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线经过点（3，－4）和（，5），求双曲线的标准方程；

2）求与双曲线－＝1有公共焦点，且过点（3，2）的双曲线方程．

跟踪训练2.求适合下列条件的双曲线的标准方程：

　　(1)双曲线的一个焦点坐标是(0，－6)，经过点A(－5，6)；

　　(2)与椭圆＋＝1共焦点，且过点(－2，)．

（三）双曲线的焦点三角形问题

【例三】设双曲线－＝1，F1、F2是其两个焦点，点P在双曲线右支上．

　　(1)若∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积；

　　(2)若∠F1PF2＝60°时，△F1PF2的面积是多少？若∠F1PF2＝120°时，△F1PF2的面积又是多少？

跟踪训练3若F1、F2是双曲线－＝1的两个焦点，P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．

（四）分类讨论思想的应用

【例四】已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．

跟踪训练4.讨论方程＋＝1(m<3)所表示的曲线类型．

四 课堂小结

五 课后作业

1．(2015·江西南昌四校联考)已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是(　　)

　　A．双曲线 B．双曲线左支 C．一条射线 D．双曲线右支

2．双曲线3x2－4y2＝－12的焦点坐标为(　　)

　　A．(±5,0) B．(0，±) C．(±，0) D．(0，±)

3．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是(　　)

　　A．－10 C．k≥0 D．k>1或k<－1

4．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则m的值是(　　)

　　 A．±1 B．1 C．－1 D．不存在

5．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，线段AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是(　　)

　　 A．16 B．18 C．21 D．26

思考：1.已知定点A(－3,0)和定圆C：(x－3)2＋y2＝16，动圆和圆C相外切，并且过定点A，求动圆圆心M的轨迹方程．

　　2.椭圆＋＝1(m>n>0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F1，F2，且P是这两条曲线的一个交点，求|PF1|·|PF2|的值.

答案

牛刀小试1 A B C D

　　例一 D 34

跟踪训练1. 33

例二 1）双曲线的标准方程为－＝1.

　　2）解法一：设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意易求得c＝2.

　　又双曲线过点(3，2)，∴－＝1.

　　又∵a2＋b2＝(2)2，∴a2＝12，b2＝8.

　　故所求双曲线的方程为－＝1.

　　解法二：设双曲线方程为－＝1，

　　将点(3，2)代入得k＝4，

　　∴所求双曲线方程为－＝1.

跟踪训练2. 1）双曲线方程为－＝1. 2）－＝1

例三[解析]　(1)由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝，

　　设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1>r2)，

　　如图所示．由双曲线定义，有r1－r2＝2a＝4，

　　两边平方得r＋r－2r1r2＝16.

　　∵∠F1PF2＝90°，

　　∴r＋r＝4c2＝4×()2＝52.

　　∴2r1r2＝52－16＝36，∴S△F1PF2＝r1r2＝9.

　　(2)若∠F1PF2＝60°，在△F1PF2中，由余弦定理得

　　|F1F2|2＝r＋r－2r1r2cos60°＝(r1－r2)2＋r1r2，

　　而r1－r2＝4，|F1F2|＝2，∴r1r2＝36.

　　于是S△F1PF2＝r1r2sin60°＝×36×＝9.

　　同理可求得若∠F1PF2＝120°时，S△F1PF2＝3.

跟踪训练3 ∠F1PF2＝90°

例4(1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；

　　(2) 当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；

　　(3)当k<0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；

　　(4)当0

　　(5)当k>1时，方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．

跟踪训练4：当20,2－m<0，此时方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线；当m<2时，5－m>2－m>0，此时方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆．

　　跟踪训练5

课时作业C　D A A D

(思考)1：设M(x，y)，设动圆与圆C的切点为B，|BC|＝4，则|MC|＝|MB|＋|BC|，|MA|＝|MB|，所以|MC|＝|MA|＋|BC|，即|MC|－|MA|＝|BC|＝4<|AC|.

所以由双曲线的定义知，M点轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，且a＝2，c＝3，所以b2＝5.

所以所求圆心M的轨迹方程是－＝1(x≤－2)．

2. 解析：由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2， ①

　　由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2， ②

　　由①2减去②2的差再除以4得|PF1|·|PF2|＝m－a. 课堂随笔:

后记与感悟: