2019-2020学年人教A版选修2-2 1.7 定积分的简单应用 学案
2019-2020学年人教A版选修2-2 1.7  定积分的简单应用 学案第2页

b]上的定积分,即s=v(t)dt.

(2)一物体在恒力F(单位:N)的作用下做直线运动,如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位:m),则力F所作的功为W=Fs;而若是变力所做的功W,等于其力函数F(x)在位移区间[a,b]上的定积分,即W=F(x)dx.

要点一 求变速直线运动的路程、位移

例1 有一动点P沿x轴运动,在时间t时的速度为v(t)=8t-2t2(速度的正方向与x轴正方向一致).求

(1)P从原点出发,当t=6时,求点P离开原点的路程和位移;

(2)P从原点出发,经过时间t后又返回原点时的t值.

解 (1)由v(t)=8t-2t2≥0得0≤t≤4,即当0≤t≤4时,P点向x轴正方向运动,当t>4时,P点向x轴负方向运动.

故t=6时,点P离开原点的路程

s1=(8t-2t2)dt-(8t-2t2)dt

=-=.

当t=6时,点P的位移为

(8t-2t2)dt==0.

(2)依题意(8t-2t2)dt=0,

即4t2-t3=0,

解得t=0或t=6,

t=0对应于P点刚开始从原点出发的情况,

t=6是所求的值.

规律方法 (1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时,将物理问题转化为数学问题是关键.

(2)路程是位移的绝对值之和,因此在求路程时,要先判断速度在区间内是否恒正,若符号不定,应求出使速度恒正或恒负的区间,然后分别计算,否则会出现计算失误.