§1.6　微积分基本定理

学习目标　1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．

知识点一　微积分基本定理(牛顿-莱布尼茨公式)

思考　已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x，则ʃ(2x＋1)dx与F(1)－F(0)有什么关系？

答案　由定积分的几何意义知，ʃ(2x＋1)dx＝×(1＋3)×1＝2，F(1)－F(0)＝2，故ʃ(2x＋1)dx＝F(1)－F(0)．

梳理　(1)微积分基本定理

①条件：f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)；

②结论：ʃf(x)dx＝F(b)－F(a)；

③符号表示：ʃf(x)dx＝F(x)|＝F(b)－F(a)．

(2)常见的原函数与被积函数关系

①ʃcdx＝cx|(c为常数)．

②ʃxndx＝(n≠－1)．

③ʃsin xdx＝－cos x|.

④ʃcos xdx＝sin x|.

⑤ʃdx＝ln x|(b>a>0)．

⑥ʃexdx＝ex|.

⑦ʃaxdx＝(a>0且a≠1)．

⑧ʃdx＝(b>a>0)．

知识点二　定积分和曲边梯形面积的关系

思考　定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？

答案　当被积函数f(x)≥0恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数f(x)≥0不恒成立，则不相等．

梳理　设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下，则

(1)当曲边梯形在x轴上方时，如图①，则ʃf(x)dx＝S上．