例2　已知x，y都是正数.

求证：(1)＋≥2；

(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.

证明　(1)∵x，y都是正数，∴>0，>0，

∴＋≥2＝2，即＋≥2，

当且仅当x＝y时，等号成立.

(2)∵x，y都是正数，

∴x＋y≥2>0，x2＋y2≥2>0，x3＋y3≥2>0.

∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2＝8x3y3，

即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，

当且仅当x＝y时，等号成立.

反思与感悟　在(1)的证明中把，分别看作均值不等式中的a，b从而能够应用均值不等式；在(2)中三次利用了均值不等式，由于每次应用不等式时等号成立的条件相同，所以最终能取到等号.

跟踪训练2　已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc.

证明　∵a，b，c都是正实数，

∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0.

∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2·2·2＝8abc.

即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.

类型三　用均值不等式比较大小

例3　已知a，b，c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，试比较a2＋b2＋c2，ab＋bc＋ca，的大小.

解　因为a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，

所以2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2ac＋2bc，①

所以a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc.

①式两边分别加上a2＋b2＋c2得，

3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2＝1，所以a2＋b2＋c2≥，

3(ab＋bc＋ca)≤a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝(a＋b＋c)2＝1，

所以ab＋bc＋ca≤.

综上知，a2＋b2＋c2≥≥ab＋bc＋ca.