微积分基本定理

[学习目标]　1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理.3.会用微积分基本定理求一些函数的定积分.

知识点一　导数与定积分的关系

f(x)dx等于函数f(x)的任意一个原函数F(x)(F′(x)＝f(x))在积分区间[a，b]上的改变量F(b)－F(a).

以路程和速度之间的关系为例解释如下：

如果物体运动的速度函数为v＝v(t)，那么在时间区间[a，b]内物体的位移s可以用定积分表示为s＝v(t)dt.另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为s＝s(t)，那么在时间区间[a，b]内物体的位移为s(b)－s(a)，所以有v(t)dt＝s(b)－s(a).由于s′(t)＝v(t)，即s(t)为v(t)的原函数，这就是说，定积分v(t)dt等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间[a，b]上的增量s(b)－s(a).

思考　函数f(x)与其一个原函数的关系：

(1)若f(x)＝c(c为常数)，则F(x)＝cx；

(2)若f(x)＝xn(n≠－1)，则F(x)＝·xn＋1；

(3)若f(x)＝，则F(x)＝ln x(x>0)；

(4)若f(x)＝ex，则F(x)＝ex；

(5)若f(x)＝ax，则F(x)＝(a>0且a≠1)；

(6)若f(x)＝sin x，则F(x)＝－cos x；

(7)若f(x)＝cos x，则F(x)＝sin x.

知识点二　微积分基本定理

一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a).

思考　(1)函数f(x)的原函数F(x)是否唯一？

(2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么？

答案　(1)不唯一.

(2)①把被积函数f(x)变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等初等函数与常数的和或差；

②用求导公式找到F(x)，使得F′(x)＝f(x)；