用数学归纳法证明整除问题[学生用书P55]

　　　用数学归纳法证明(x＋1)n＋1＋(x＋2)2n－1(n∈N＋)能被x2＋3x＋3整除．

　　【证明】　①当n＝1时，

　　(x＋1)1＋1＋(x＋2)2×1－1＝x2＋3x＋3能被x2＋3x＋3整除，命题成立．

　　②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1能被x2＋3x＋3整除，那么

　　(x＋1)(k＋1)＋1＋(x＋2)2(k＋1)－1

　　＝(x＋1)(x＋1)k＋1＋(x＋2)2·(x＋2)2k－1

　　＝(x＋1)(x＋1)k＋1＋(x＋1)(x＋2)2k－1－(x＋1)·(x＋2)2k－1＋(x＋2)2(x＋2)2k－1

　　＝(x＋1)[(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1]＋(x2＋3x＋3)·(x＋2)2k－1.

　　因为(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1和x2＋3x＋3都能被x2＋3x＋3整除，

　　所以上面的式子也能被x2＋3x＋3整除．

　　这就是说，当n＝k＋1时，

　　(x＋1)(k＋1)＋1＋(x＋2)2(k＋1)－1也能被x2＋3x＋3整除．

　　根据①②可知，命题对任何n∈N＋都成立．

　　用数学归纳法证明整除问题的关键点

　　(1)用数学归纳法证明整除问题的关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论，从而利用归纳假设使问题获证．

　　(2)与n有关的整除问题一般都用数学归纳法证明，其中关键问题是从n＝k＋1时的表达式中分解出n＝k时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式．　

　　　用数学归纳法证明对于整数n≥0，An＝11n＋2＋122n＋1能被133整除．

　　证明：(1)当n＝0时，A0＝112＋12＝133能被133整除．

当n＝1时，A1＝113＋123＝133×23，能被133整除．