2＝(a1＋a2)2.

　　3．设a，b，c为正数，

　　求证：＋＋≥ (a＋b＋c)．

　　证明：由柯西不等式：

　　·≥a＋b，

　　即·≥a＋b.

　　同理：·≥b＋c，

　　·≥a＋c，

　　将上面三个同向不等式相加得：

　　≥2(a＋b＋c)

　　∴ ＋ ＋ ≥ ·(a＋b＋c).

利用二维形式的柯西不等式求最值 　　

　　[例2]　求函数y＝3sin α＋4cos α的最大值．

　　[思路点拨]　函数的解析式是两部分的和，若能化为ac＋bd的形式就能用柯西不等式求其最大值．

　　[解]　由柯西不等式得

　　(3sin α＋4cos α)2≤(32＋42)(sin2α＋cos2)＝25，

　　∴3sin α＋4cos α≤5.

　　当且仅当＝cos α>0即sin α＝，cos α＝时取等号，即函数的最大值为5.

　　利用柯西不等式求最值

　　①变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；

　　②有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；

③而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．